Physikübung 16: Magnetfeld eines unendlichen Leiters

Aufgabe:
Berechnen Sie das magnetische Feld in Entfernung r von einem sehr langen geraden Draht, durch den ein konstanter Strom I fließt. Nehmen Sie als Idealisierung an, dass der Draht unendlich lang ist.

Lösung:

Das Problem lässt sich sehr elegant mit dem Ampereschen Gesetz lösen. Es besagt, dass die geschlossene Wegintegration über das Magnetfeld dem stationären elektrischen Strom, der durch die Fläche der Integrationsschleife fließt, multipliziert mit dem Faktor µ₀ entspricht.

$$\oint \overrightarrow{\mathrm{B}}·\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{l}}={\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{I}}_{\mathrm{eing}}$$

Wir legen die Integrationsschleife zentriert um den Draht. Aus Gründen der Symmetrie können wir sagen, dass das der Betrag des Magnetfelds entlang dieser Schleife konstant ist (der Abstand ist immer der gleiche und das Problem ist rotationssymmetrisch), d.h. wir können ihn vor das Integral ziehen.

$$\mathrm{B}\oint {\overrightarrow{\mathrm{e}}}_{\mathrm{B}}·\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{l}}={\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{I}}_{\mathrm{eing}}$$

Da die Richtung des Magnetfelds mit der des Integrationsweges übereinstimmt, ist das Skalarprodukt im Integral gleich dem Betrag des Wegelements.

$$\mathrm{B}\oint \mathrm{dl}={\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{I}}_{\mathrm{eing}}$$

Die Integration entspricht genau dem Umfang der Ampereschen Schleife.

$$\mathrm{B}·2\mathrm{\pi r}={\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{I}}_{\mathrm{eing}}$$

$$\mathrm{B}=\frac{{\mathrm{\mu }}_0{\mathrm{I}}_{\mathrm{eing}}}{2\mathrm{\pi r}}$$

Viel Spaß damit! :)