Kurvenintegral 2. Art berechnen

Im letzten Beitrag habe ich erklärt, wie Kurvenintegrale der ersten Art berechnet werden, d.h. die Integrale, die entlang eines Weges über einen skalaren Feld definiert sind. Jetzt schauen wir uns die Kurvenintegrale über Vektorfelder an.

Das Kurvenintegral der zweiten Art ist wie folgt definiert (vergleiche mit der 1. Art).

$${\int }_{\omega }f ds={\int }_a^{b}f\left(\omega \right(t\left)\right)·\frac{d\omega \left(t\right)}{dt}dt$$

Die Berechnung von Kurvenintegralen der zweiten Art läuft fast genauso, wie der ersten Art ab. Der Unterschied ist, dass im Integral nicht der Betrag der Ableitung des Integrationsweges steht, sondern nur die Ableitung. Mit der Skalarmultiplikation mit dem Vektorfeld ergibt sich im Integral wieder ein Skalar und wir können ganz normal ein eindimensionales Integral lösen.

Um das Kurvenintegral zu berechnen müssen folgende Schritte durchgeführt würden.

1. Parametrisierung der Kurve ω(t) bestimmen (z.B. aus einer Zeichnung ablesen).
2. Integrationsgrenzen a und b bestimmen, so dass ω(a) und ω(b) den Start- und den Endpunkt der Kurve beschreiben.
3. ω(t) nach t ableiten.
4. Komponenten von ω(t) in f einsetzen (ersten Eintrag als x, zweiten als y, …).
5. Alle Teilergebnisse in einem Integral zusammenfassen (Skalarprodukt!) und das Integral ausrechnen.

Zum besseren Verständnis rechnen wir ein Beispiel mit einem zweidimensionalen Vektorfeld durch.

Beispiel.

Man sollte das Kurvenintegral über dem Vektorfeld f(x,y)=(2xy-x², x+y²)^T entlang des Weges ω(t)=(t²,t)^T von Punkt A nach Punkt B berechnet werden (siehe Zeichnung).

Die Integrationsgrenzen können einfach aus der Zeichnung abgelesen werden. Für den Punkt A muss gelten (t²,t)=(0,0), deswegen ist die erste Grenze bei t=0. Für den Punkt findet man t=1.

Wir leiten ω(t) nach t ab.

$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{t}^2\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{d}{dt}{t}^2\\ \frac{d}{dt}t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t\\ 1\end{array}\right)$$

Wir setzen ω(t) in f ein.

$$f\left(\omega \right(t\left)\right)=\left(\begin{array}{c}2·t^2·t–t^4\\ t^2+t^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t^3–t^4\\ 2t^2\end{array}\right)$$

Als nächstes wird das Skalarprodukt zwischen f(ω(t)) und dω(t)/dt berechnet.

$$f\left(\omega \right(t\left)\right)·\frac{d\omega \left(t\right)}{dt}=\left(\begin{array}{c}2t^3–t^4\\ 2t^2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}2t\\ 1\end{array}\right)$$

$$=(2t^3–t^4)·2t+2t^2·1$$

$$=4t^4–2t^5+2t^2$$

Abschließend wird das Ergebnis des Skalarprodukts in das Integral mit den Integrationsgrenzen eingesetzt und das Integral berechnet.

$${\int }_0^1–2t^5+4t^4+2t^{2}dt$$

$$={\overline{)[–\frac{2}{6}{t}^6+\frac{4}{5}{t}^5+\frac{2}{3}{t}^3]}}_0^1=\frac{17}{15}$$

Die Integration über mehrdimensionale Vektorfelder verläuft ganz analog. Man hat nur mehr Komponenten in der Darstellung des Weges und des Vektorfeldes.

Viel Spaß damit! =)