Physikübung 25: Isotopenverhältnis, Radiokarbonmethode

Aufgabe:
Bei einer Ausgrabung fand eine Archäologengruppe ein Gefäß mit pflanzlichen Überresten. Eine Untersuchung der Überreste ergab, dass das Isotopenverhältnis$$\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}}$$ nur 80 % des Isotopenverhältnises in lebenden Organismen beträgt.

a) Leiten Sie einen Ausdruck zur Berechnung des Mindestalters des Gefäßes her.
b) Berechnen Sie das Mindestalter des Gefäßes unter der Annahme, dass das Kohlenstoffisotopenverhältnis in der Atmosphäre zur Lebzeiten der Pflanze den gleichen Wert hatte wie zum Zeitpunkt der Ausgrabung. Das Isotop ¹⁴C hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren.

Lösung:

a) Das radioaktive Isotop ¹⁴C entsteht ständig durch Kernreaktionen in höheren Schichten der Atmosphäre, so dass das Verhältnis zum stabilen ¹²C-Isotop als konstant angesehen werden kann. Durch den natürlichen Kreislauf gelangt das ¹⁴C-Isotop mit anderen Kohlenstoffisotopen in die Pflanzen und Lebewesen. Nach dem Tod des Organismus, wird die ¹⁴C-Zufuhr unterbrochen und das Verhältnis verringert sich.

Isotopenverhältnis zur Zeit der Ausgrabung:

$$\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}$$

Zerfallsgesetz:

$$\mathrm{N}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{N}\left(0\right)·{\mathrm{e}}^{–\mathrm{\lambda t}}$$

Dabei ist λ die Zerfallskonstante des radioaktiven Isotops.

Man setzt das Zerfallsgesetz in das aktuelle Isotopenverhältnis ein.

$$\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}=\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(0\right)·{\mathrm{e}}^{–{\mathrm{\lambda }}_{14\mathrm{C}}\mathrm{t}}}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(0\right)·{\mathrm{e}}^{–{\mathrm{\lambda }}_{12\mathrm{C}}\mathrm{t}}}$$

Da Kohlenstoffisotop ¹²C stabil ist, ist die Zerfallskonstante λ_12C unendlich groß, so dass die e-Funktion gegen 1 konvergiert.

$$\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}=\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(0\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(0\right)}{\mathrm{e}}^{–{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{C}12}\mathrm{t}}$$

Jetzt muss man nur noch nach t umstellen.

$$\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}·\frac{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(0\right)}{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(0\right)}={\mathrm{e}}^{–{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{C}12}\mathrm{t}}$$

$$\ln \left(\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}·\frac{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(0\right)}{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(0\right)}\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^{–{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{C}12}\mathrm{t}}\right)$$

$$\ln \left(\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}·\frac{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(0\right)}{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(0\right)}\right)=–{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{C}12}\mathrm{t}$$

$$\mathrm{t}=\frac{\ln \left(\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}·\frac{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(0\right)}{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(0\right)}\right)}{–{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{C}12}}$$

b) Aus der Aufgabenstellung geht hervor:

$$\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(\mathrm{t}\right)}=0,8·\frac{{\mathrm{N}}_{14\mathrm{C}}\left(0\right)}{{\mathrm{N}}_{12\mathrm{C}}\left(0\right)}$$

Einsetzen in die eben hergeleitete Gleichung.

$$\mathrm{t}=\frac{\ln \left(0,8\right)}{–{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{C}12}}$$

Die Zerfallskonstante wird aus der Halbwertszeit berechnet.

$$\lambda =\frac{\ln \left(2\right)}{{\mathrm{T}}_{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}$$

$$\mathrm{\lambda }=1,21·{10}^{–4}\frac{1}{\mathrm{a}}$$

Jetzt nur noch einsetzen und ausrechnen.

$$\mathrm{t}=\frac{\ln \left(0,8\right)}{–1,21·{10}^{–4} {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{a}}}}=1844 \mathrm{a}$$

Das gefundene Gefäß ist also etwa 1844 Jahre alt.

Viel Spaß damit =)