Den Schnittpunkt zwischen zwei Normalverteilungen berechnen

Im Folgenden zeige ich eine kurze Herleitung für die Berechnung des Schnittpunktes zwischen zwei Normalverteilungen.

Angenommen man hat folgendes Bild und man möchte den Schnittpunkt (im Bild symbolisiert durch eine Linie) zwischen den beiden Normalverteilungen berechnen.

Zuerst brauchen wir die Gleichung für die Normalverteilung:

$$f\left(A,\mu ,\sigma \right)=A\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{–\frac{{\left(\mu –x\right)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Dabei ist µ der Erwartungswert, σ die Standardabweichung und A eine Skalierung.
Möchte man den Schnittpunkt zwischen zwei Normalverteilungen berechnen, so muss gefordert werden, dass die Funktionswerte der beiden Normalverteilungen am Schnittpunkt x gleich groß sind.

$$f\left(A_1,{\mu }_1,{\sigma }_1\right)=f\left(A_2,{\mu }_2,{\sigma }_2\right)$$

$$A_1\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{–\frac{{\left({\mu }_1–x\right)}^2}{2{{\sigma }_1}^2}}=A_2\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^{–\frac{{\left({\mu }_2–x\right)}^2}{2{{\sigma }_2}^2}}$$

$$\frac{A_1{\sigma }_2}{A_2{\sigma }_1}{e}^{–\frac{{\left({\mu }_1–x\right)}^2}{2{{\sigma }_1}^2}}=e^{–\frac{{\left({\mu }_2–x\right)}^2}{2{{\sigma }_2}^2}}$$

$$\frac{A_1{\sigma }_2}{A_2{\sigma }_1}=e^{–\frac{{\left({\mu }_2–x\right)}^2}{2{{\sigma }_2}^2}+\frac{{\left({\mu }_1–x\right)}^2}{2{{\sigma }_1}^2}}$$

Anwendung der log-Funktion eliminiert die e-Funktion.

$$\log \frac{A_1{\sigma }_2}{A_2{\sigma }_1}=–\frac{{\left({\mu }_2–x\right)}^2}{2{{\sigma }_2}^2}+\frac{{\left({\mu }_1–x\right)}^2}{2{{\sigma }_1}^2}$$

Nach ein paar elementaren Umformungen gelangt man zu einer quadratischen Gleichung.

$$x^2+2x\frac{{{\sigma }_1}^2{\mu }_2–{{\sigma }_2}^2{\mu }_1}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}=\frac{2{{\sigma }_1}^2{{\sigma }_2}^2\log \left(\frac{A_1{\sigma }_2}{A_2{\sigma }_1}\right)+{{\sigma }_1}^2{{\mu }_2}^2–{{\sigma }_2}^2{{\mu }_1}^2}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}$$

Die obige Gleichung lässt sich gut mit der quadratischen Ergänzung lösen. Dazu addiert man auf beiden Seiten einen quadratischen Term, so dass auf der linken Seite eine binomische Formel entsteht.

$$x^2+2x\frac{{{\sigma }_1}^2{\mu }_2–{{\sigma }_2}^2{\mu }_1}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}+{\left(\frac{{{\sigma }_1}^2{\mu }_2–{{\sigma }_2}^2{\mu }_1}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}\right)}^2=\frac{2{{\sigma }_1}^2{{\sigma }_2}^2\log \left(\frac{A_1{\sigma }_2}{A_2{\sigma }_1}\right)+{{\sigma }_1}^2{{\mu }_2}^2–{{\sigma }_2}^2{{\mu }_1}^2}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}+{\left(\frac{{{\sigma }_1}^2{\mu }_2–{{\sigma }_2}^2{\mu }_1}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}\right)}^2$$

$${\left(x+\frac{{{\sigma }_1}^2{\mu }_2–{{\sigma }_2}^2{\mu }_1}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}\right)}^2=\frac{2{{\sigma }_1}^2{{\sigma }_2}^2\log \left(\frac{A_1{\sigma }_2}{A_2{\sigma }_1}\right)+{{\sigma }_1}^2{{\mu }_2}^2–{{\sigma }_2}^2{{\mu }_1}^2}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}+{\left(\frac{{{\sigma }_1}^2{\mu }_2–{{\sigma }_2}^2{\mu }_1}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}\right)}^2$$

Jetzt nur noch die rechte Seite etwas zusammenfassen und auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Dabei ist nur der positive Wurzelterm interessant ( da die Verteilung mit dem Index 2 rechts von der mit dem Index 1 liegt).
Das Endergebnis lautet:

$$x=\frac{{{\sigma }_2}^2{\mu }_1–{{\sigma }_1}^2{\mu }_2+{\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{{\left({\mu }_1–{\mu }_2\right)}^2+2\left({{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2\right)\log \left(\frac{A_1{\sigma }_2}{A_2{\sigma }_1}\right)}}{{{\sigma }_2}^2–{{\sigma }_1}^2}$$

Viel Spaß damit! =)