Berechnung von Determinanten einer 2×2, 3×3, 4×4 und nxn-Matrix

Eine Determinante ist eine Zahl die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Mit Hilfe einer Determinante kann man einiges über die Eigenschaften einer Matrix aussagen.

Determinante einer 2×2-Matrix:

Dieser Fall ist besonders simpel:

$$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad–bc$$

Beispiel:

$$\det \left(\begin{array}{cc}2& –3\\ 5& 1\end{array}\right)=2*1–\left(–3\right)*5=17$$

Determinante einer 3×3 Matrix:

[math] det \left(\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right) = a_{1}b_{2}c_{3} + b_{1}c_{2}a_{3}+ c_{1}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}c_{1}-b_{3}c_{2}a_{1}-c_{3}a_{2}b_{1}[/math]

Um diese Berechnungsformel nicht merken zu müssen gibt es eine Berechnungshilfe.
Man schreibt die ersten beiden Spalten hinter die Matrix.

[math] \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{array} [/math]

Danach kann man die Regel von Sarrus anwenden.

Man addiert in blauen Bereichen eingeschlossene Produkte und subtrahiert davon die Produkte die in orangefarbenen Bereichen stehen. Das Ergebnis ist genau die Formel die oben steht.

Beispiel:
[math] det \left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{array}\right) = -6+0-10-40-0-9 = -65[/math]

Determinante einer n x n-Matrix:
Für Matrizen mit n>3 gibt es keine einfache Regel zur Determinantenberechnung (Sarrus Regel geht nicht!).
Um die Determinante einer n x n-Matrix zu berechnen gibt es verschiedene Algorithmen. Zum Beispiel kann man mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus die Matrix zu einer Dreiecksmatrix umformen, wobei das Produkt der Diagonalelemente die Determinante ist.

Oft einfacher ist es aber den Laplaceschen -Entwicklungssatz zu verwenden, der wie folgt definiert ist.

$$\det A=\det \left(a_{ij}\right)=\sum _{i=1}^n{\left(–1\right)}^{i+j}{a}_{ij}\det A_{ij}$$

oder

$$\det A=\det \left(a_{ij}\right)=\sum _{j=1}^n{\left(–1\right)}^{i+j}{a}_{ij}\det A_{ij}$$

Die erste Version entspricht einer Entwicklung nach Zeile, die zweite nach Spalte. Was zunächst kompliziert aussieht entpuppt sich als ein sehr einfacher Algorithmus. Wir gehen erst mal die einzelnen Komponenten des Produkts in der Summe durch.

Zunächst ist zu wissen, dass i die aktuelle Zeile und j die aktuelle Spalte einer Matrix ist. Daraus folgt, dass (-1)^i+j bei jeder Erhöhung von i oder j das Vorzeichen ändert.
Man kann es sich als folgende Vorzeichen-Matrix vorstellen:
[math] \begin{vmatrix}+ & – & + \\ – & + & – & \dots\\ + & – & + \\ & \vdots & \end{vmatrix}[/math]

a_ij ist der Wert, der in der Matrix in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht.

det A_ij ist die Determinante einer (n-1,n-1)-Matrix die entsteht, wenn man in der ursprünglicher Matrix die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

Um die Determinante einer n x n-Matrix zu berechnen, wählt man eine eine beliebige Spalte(j) oder Zeile(i) in der Matrix aus. Vorteilhaft ist die Spalte oder Zeile, die am meisten Nullen enthält.
Danach führt man den Algorithmus wie oben definiert aus. Als Ergebnis bekommt man eine Gleichung in der eine Determinante kleinerer Ordnung vorkommt. So wird beispielsweise aus einem 4×4-Problem ein 3×3-Problem, welches man wie gewohnt mit Sarrusregel ausrechnen kann.

Hat man in der resultierenden Gleichung Matrizen größerer Ordnung als 3×3 stehen, so wendet man für jede dieser Matrizen wieder den Laplaceschen Entwicklungssatz an.

Beispiel: 3×3-Matrix:
Ich verwende hier die 3×3-Matrix aus dem oberen Beispiel um zu zeigen, dass der Laplacesche Entwicklungssatz auch für 3×3-Matrizen gilt.

[math]det A = det \left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{array}\right) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \\
[/math]

Wir entwickeln nach der zweiten Zeile, weil dort eine Null steht. Das erspart uns etwas Rechenarbeit.

Die erste Zahl ist a₂₁=-1 mit dem Vorzeichen (-1)²⁺¹ = -1 .
Die Matrix A₂₁ entsteht, wenn wir die zweite Zeile und erste Spalte löschen.

Die zweite Zahl ist a₂₂=2 mit dem Vorzeichen (-1)²⁺² = +1 .
Die Matrix A₂₂ entsteht, wenn wir die zweite Zeile und zweite Spalte löschen.

Die dritte Zahl ist a₂₃=0. Den Rest brauchen wir nicht zu betrachten, weil Irgendwas multipliziert mit Null wieder Null ergibt. Wir haben uns hier eine Determinantenberechnung gespart.

Zusammengefasst ergibt alles:
[math]\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{vmatrix} = -1*(-1)*\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + 2*\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} + 0
[/math]

An dieser Stelle können wir mit dem Wissen der 2×2-Determinantenberechnung sofort die Determinante der 3×3 Matrix angeben. Man könnte aber auch für die 2×2 Matrizen den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden. Das Ergebnis ist das Gleiche.
[math] -1*(-1)*\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + 2*\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} + 0 = -19 -46 = -65 [/math]

Beispiel: 4×4-Matrix:

[math]det A = \begin{vmatrix} 3 & 7 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 4 & -1 \end{vmatrix} =[/math]

Wir entwickeln nach der ersten Spalte.

[math]det A = 3*\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 6 & 4 & -1 \end{vmatrix} – 0*\begin{vmatrix} \dots \end{vmatrix} + 5*\begin{vmatrix} 7 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & 4 & -1 \end{vmatrix} – 6*\begin{vmatrix} 7 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \end{vmatrix} \newline\newline = 3*(-6-12+16-18-16-4)+5*(7+18-28+6)-6*(-14+12-21-12) \newline\newline = -120 + 15 + 210 = 105[/math]

Abschließend möchte noch auf drei grundlegende Rechenregeln in Bezug auf Determinanten aufführen.

• Multipliziert man eine Matrixzeile mit einer Zahl z, so erhöht sich die Determinante um Faktor z.
• Vertauscht man zwei Matrixzeilen, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
• Addiert man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen, so ändert sich die Determinante nicht.

Hier finden Sie auch einen Online Determinantenrechner.