Differentialgleichungen für gekoppelte Federschwinger aufstellen

Wenn man ein System aus vielen Massen hat, die mit einander gekoppelt sind und man ihre Bewegung bestimmen möchte, so muss man für jede einzelne Masse eine Differentialgleichung aufstellen. Dies ist ohne Übung gar nicht so einfach. Ich möchte hier eine einfache Merkregel vorstellen, mit der man schnell DGLs für gekoppelte Federschwinger aufstellen kann.

Es sei ein typisches Federschwingersystem gegeben. Wir suchen dafür die Bewegungsgleichungen.

Um das Problem zu lösen, geht man nach einem festen Schema vor. Zuerst zeichnen wir eine Koordinatenachse und die Auslenkungen x_i aus den Gleichgewichtslagen ein. Es ist ganz wichtig zu wissen, dass es sich nicht um absolute Koordinaten auf der X-Achse handelt, sondern um Auslenkungen.

Man betrachtet für jede einzelne Masse die Federn, die direkt daran angekoppelt sind. Eine Federkonstante bekommt das negative Vorzeichen, wenn die entsprechende Feder links an der Masse angekoppelt ist und umgekehrt bekommt eine Federkonstante einen Plus, wenn die entsprechende Feder rechts an der Masse angekoppelt ist. Als Dehnung der Feder nimmt man immer die Differenz zwischen der Auslenkung des rechten Federendes und des linken Federendes.

Beispiel 1:

Wir stellen die DGLs für das obere System auf.
Wir betrachten die linke Masse m:

[math] m \ddot{x_1} = …[/math]

Links von m ist eine Feder, also bekommt die Federkonstante einen Minus. Die Differenz der Auslenkungen ist (x₁ – 0), weil die Wand nicht bewegt werden kann und ihre Auslenkung immer 0 ist. Wir bekommen also:

[math] m \ddot{x_1} = -K_1(x_1 – 0) …[/math]

Rechts von m ist auch eine Feder, also bekommt die Federkonstante ein positives Vorzeichen. Die Differenz der Auslenkungen ist (x₂ – x₁). Somit ist ist die erste DGL komplett.

[math] m \ddot{x_1} = -K_1(x_1 – 0) + K_2(x_2-x_1)[/math]

Jetzt betrachten wir die zweite Masse M. Links von ihr ist eine Feder, also wir das Vorzeichen negativ und die Auslenkungsdifferenz beträgt (x₂ – x₁).

[math] M \ddot{x_2} = -K_2(x_2-x_1) …[/math]

Rechts von M ist auch eine Feder, also wird das Vorzeichen für K₃ positiv und die Auslenkung beträgt (0 – x₂).

[math] M \ddot{x_2} = -K_2(x_2-x_1) + K_3(0-x_2)[/math]

Damit hätten wir ein gekoppeltes DGL-System, welches nur drauf wartet, gelöst zu werden ;)

[math]
m \ddot{x_1} = -K_1(x_1 – 0) + K_2(x_2-x_1) \\

M \ddot{x_2} = -K_2(x_2-x_1) + K_3(0-x_2)
[/math]

Beispiel 2:

Als nächstes betrachten wir eine Anordnung, die beispielsweise ein CO₂-Molekül darstellen könnte.

Da es drei Massen gibt, wird es auch drei DGLs geben. Wir fangen mit der linken Masse an.

Da links von der Masse m keine Feder vorhanden ist, müssen wir nur die rechte Feder betrachten. Die Federkonstante bekommt ein positives Vorzeichen und die Auslenkungsdifferenz beträgt (x₂ – x₁).

[math] m \ddot{x_1} = K(x_2-x_1) [/math]

Als nächstes betrachten wir die Masse M. Die Federkonstante für die linke Feder bekommt ein negatives Vorzeichen und die Auslenkung beträgt (x₂ – x₁). Die Federkonstante für die rechte Feder bekommt ein positives Vorzeichen und die Auslenkung beträgt (x₃ – x₂).

[math] M \ddot{x_2} = -K(x_2-x_1) + K(x_3-x_2) [/math]

Zuletzt muss noch die rechte Masse m betrachtet werden. Die Feder befindet sich links von ihr, also bekommt K ein Minus davor. Die Auslenkungsdifferenz ist (x₃ – x₂).

[math] m \ddot{x_3} = -K(x_3-x_2) [/math]

Somit ist das DGL-System vollständig.

[math] m \ddot{x_1} = K(x_2-x_1) \\
M \ddot{x_2} = -K(x_2-x_1) + K(x_3-x_2) \\
m \ddot{x_3} = -K(x_3-x_2) [/math]

Ich hoffe die Vorgehensweise ist damit klar, so dass man für ein gegebenes Problem sofort die DGLs hinschreiben kann, ohne dafür lange zu überlegen. :)