Erdradius mit einer Stoppuhr messen

In einem früheren Artikel habe ich beschrieben, wie man die Masse der Erde berechnen kann. Jetzt möchte ich zeigen, wie man den Erdradius messen kann und zwar nur mit Hilfe einer Stoppuhr (praktisch jedes Handy hat eine) und einem Messband (Zollstock ist auch gut).

Die Messung läuft folgendermaßen ab:
Man setzt sich oder noch besser legt sich auf den Boden und betrachtet die am Horizont untergehende Sonne (eine Sonnenbrille kann nützlich sein). Wenn den Sonnenrand hinder dem Horizont verschwunden ist, startet man die Stoppuhr. Dann steht man auf und sieht wieder den Rand der Sonne. Wenn der Rand wieder verschwunden ist, stoppt man die Zeitmessung.

Die gleiche Messung kann man auch beim Sonnenaufgang machen, nur muss man da zuerst stehen und auf den Sonnenrand warten, dann sich hinsetzen und den Sonnenaufgang zum zweiten mal erleben.
Man kann die Messung also nur zwei mal am Tag durchführen¹.

Desweiteren muss der Höhenunterschied der Augen zwischen den beiden Messpositionen vermessen werden. Das kann man in aller Ruhe vor oder nach der Zeitmessung machen. Je größer der Höhenunterschied, desto genauer wird das Ergebnis sein. Aus diesem Grund ist es auch besser sich zuerst hinlegen.

Gut, wir haben zwei Messwerte, aber wie bestimmt man jetzt damit den Erdradius?
Um das zu verstehen, schauen wir uns die folgende Skizze an.

Auf der Skizze sieht man ein Querschnitt der Erde entlang der Drehachse. Rechts ist das Licht von der Sonne angedeutet. Die Erde dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Beim Sonnenuntergang befindet man sich im Punkt A. Dann steht man auf (Augen befinden sich jetzt in der Höhe h), so dass man wieder über die Erdwölbung die Sonne sehen kann. Aufgrund der Erddrehung geht die Sonne dann wieder unter.

Man erkennt in der Zeichnung ein rechtwinkliges Rechteck. Für diesen stellt man aus der Schulzeit bekannte Gleichung zur Bestimmung von einer unbekannten Dreieckseite auf.

$$\cos \left(\phi \right)=\frac{\mathrm{Ankathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}=\frac{R}{R+h}$$

Durch elementare Umformungen kommt man auf den Erdradius.

$$R=\frac{h}{{\displaystyle \frac{1}{\cos \left(\phi \right)}} –1}$$

Die Höhe h ist bekannt, es fehlt nur noch der Winkel φ um den sich die Erde zwischen den beiden beobachteten Sonnenuntergängen gedreht hat. Der Winkel berechnet sich nach einer einfachen Formel aus der Winkelgeschwindigkeit der Erde ω und der verstrichenen Zeit t.

$$\phi =\omega ·t$$

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist bekannt. Die Erde dreht sich ein mal in 24 Stunden um die eigene Achse.

$$\omega =\frac{2\pi }{24·3600 \mathrm{s}}$$

Dies setzen wir in die Gleichung für den Erdradius ein.

$$R=\frac{h}{{\displaystyle \frac{1}{\cos ({\displaystyle \frac{2\pi }{24·3600 \mathrm{s}}}·t)}} –1}$$

Jetzt muss man nur den Taschenrechner bedienen.

Wer das selbst ausprobiert (bitte!), der wird feststellen, dass die errechnete Wert sich teilweise stark von dem Literaturwert (~6371 km) unterscheidet. Dies liegt in erster Linie daran, dass der Höhenunterschied h und die Zeit t ungenau gemessen wurden. In der Physik muss man zu jedem Messwert auch eine Unsicherheit angeben. In diesem Fall muss man nicht nur h messen, sondern auch abschätzen um welchen Wert man sich vermessen haben könnte. Diesen Wert bezeichnen wir hier als Δh.

Bei der Zeitmessung ist es ähnlich. Sie hängt zum Beispiel von der eigenen Reaktionszeit ab. Genauso ist es auch entscheidend wie man den Rand der Sonne für sich definiert. Temperaturunterschiede in der Luft könnten Lichtbrechung verursachen, so dass der Rand in Wirklichkeit nicht dort ist, wo man ihn sieht. Der Unsicherheit in der Zeitmessung bezeichnen wir als Δt.

Wenn man alle Unsicherheiten miteinbezieht, so kann man auch eine Unsicherheit für das Endergebnis angeben. Dazu habe ich die Gaußsche Fehlerfortpflanzung benutzt, so dass für die Unsicherheit für den Erdradius folgender Ausdruck entsteht.

$$\Delta R=\sqrt{{\left(\frac{\omega h\sin \left(\omega t\right)}{{\left(\cos \left(\omega t\right)–1\right)}^2}\right)}^2{\left(\Delta t\right)}^2+{\left(\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{\cos \left(\omega t\right)}}–1}\right)}^2{\left(\Delta h\right)}^2}$$

Durch das Einsetzen aller bekannter Werte, kann man die Plus-Minus-Grenze errechen, so dass der erwartete Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % (eine Standardabweichung) dazwischen liegt.

Es würde mich freuen, wenn ihr dieses Experiment selbst durchführt und hier davon berichtet. =)