Koordinatengleichung einer Ebene in die Normalform umwandeln

Im Folgenden werde ich zeigen, wie man die Koordinatengleichung (auch implizite Form genannt) einer Ebene in die Normalform bzw. Hessesche Normalform überführt.

Die implizite Ebenengleichung hat die folgende Form:

$$\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}=\mathrm{d}$$

Dabei sind a,b,c und d konstante Koeffizienten, die die Lage der Ebene in 3D Raum charakterisieren. Die Zahlentripel (x,y,z) stellen alle Punkte der Ebene dar, d.h. wenn irgendein Punkt (x,y,z) in die gegebene Gleichung eingesetzt wird und sie weiter erfüllt bleibt, dann liegt dieser Punkt in der Ebene.

Die Normalform sieht wie folgt aus:

$$\overrightarrow{\mathrm{n}}·[ \overrightarrow{x}–\overrightarrow{\mathrm{0P} }]=0$$

[rawhtml]

Hier stellt $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ den Normalenvektor dar.
Der Vektor $\overrightarrow{x}$ ist nichts anderes als der Ortsvektor eines Punktes (x,y,z) der Ebene. Der Ortsvektor $\overrightarrow{0\mathrm{P}}$ ist ein beliebiger Punkt der Ebene.

[/rawhtml]

Wenn man die Normalform und die implizite Darstellung etwas umschreibt, so erkennt man die Gemeinsamkeit. Zuerst die implizite Form.

$$\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}=\mathrm{d}$$

$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\\ \mathrm{c}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\mathrm{d}$$

$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\\ \mathrm{c}\end{array}\right)·\overrightarrow{x}=\mathrm{d}$$

Man hat links ein Skalarprodukt und rechts einen Skalar stehen. Schauen wir uns an, ob wie die Normalform in eine ähnliche Darstellung überführen können.

$$\overrightarrow{\mathrm{n}}·[ \overrightarrow{x}–\overrightarrow{\mathrm{0P} }]=0$$

$$\overrightarrow{\mathrm{n}}·\overrightarrow{x}–\overrightarrow{\mathrm{n}}·\overrightarrow{\mathrm{0P}}=0$$

$$\overrightarrow{\mathrm{n}}·\overrightarrow{x}=\overrightarrow{\mathrm{n}}·\overrightarrow{\mathrm{0P}}$$

Wenn man die rechte Seite ausrechnet, so steht dort auch ein Skalarprodukt. Man erkennt, dass der Normalenvektor $$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\\ \mathrm{c}\end{array}\right)$$ ist und somit direkt aus der impliziten Gleichung abgelesen werden kann.

[rawhtml]

Es fehlt nur noch ein beliebiger Punkt der Ebene $\overrightarrow{0\mathrm{P}}$ (hier als Ortsvektor dargestellt). Im Prinzip ratet man einen Punkt, setzt ihn in die Koordinatengleichung ein und schaut ob die Gleichung erfüllt ist, wenn ja, dann hat man $\overrightarrow{0\mathrm{P}}$ gefunden. Es ist einfacher als man vielleicht vermuten könnte. Weil eine Ebene unendlich ausgedehnt ist, schneidet sie immer mindestens eine der drei Koordinatenachsen (Punkte (x,0,0), (0,y,0), (0,z,0)). Was man jetzt macht ist nichts anderes als festzustellen, wo einer dieser Punkte liegt. Dazu setzt man zwei der Koordinaten auf Null und schaut ob die Koordinatengleichung erfüllbar ist, wenn ja, dann hat man einen Punkt der Ebene gefunden.

Der Weg von der Normalform zur Hessesschen Normalform ist nicht schwierig, man muss nur den Normalenvektor $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ durch dessen Betrag teilen.

[/rawhtml]

Beispiel 1:

$$4\mathrm{x}+2\mathrm{y}–\mathrm{z}=5$$

[rawhtml]
Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ –1\end{array}\right)$ kann sofort abgelesen werden.

Um den Vektor $\overrightarrow{0\mathrm{P}}$ zu erlangen versuchen wir den Schnittpunkt mit der z-Achse zu bestimmen. Wir setzen in der Koordinatengleichung x=0,y=0 und schauen ob die Gleichung lösbar ist.

$$0+0–\mathrm{z}=5$$

Offensichtlich stimmt die Gleichung wenn z=-5, d.h. der Punkt (0,0,-5) ist der Schnittpunkt der Ebene mit der z-Achse.
Damit lautet die Normalform der Ebene:

$$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ –1\end{array}\right)·[ \overrightarrow{x}–\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ –5\end{array}\right)]=0$$

Wir berechnen den Betrag des Normalenvektors für die Hessesche Normalform.

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|=\sqrt{4²+2²+(–1)²}$$

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|=\sqrt{21}$$

Somit lautet die Hessesche Normalform:

$$\frac{1}{\sqrt{21}}\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ –1\end{array}\right)·[ \overrightarrow{x}–\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ –5\end{array}\right)]=0$$

[/rawhtml]

Beispiel 2:

$$–2x+4y+5z–10=0$$

Die Gleichung umstellen.

$$–2x+4y+5z=10$$

Den Normalenvektor ablesen. $$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}–2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$$

Den Schnittpunkt mit der z-Achse (0,0,z) bestimmen.

$$0+0+5z=10$$

$$z=2$$

Die Normalform lautet:

$$\left(\begin{array}{c}–2\\ 4\\ 5\end{array}\right)·[ \overrightarrow{x}–\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)]=0$$

Den Betrag des Normalenvektors berechnen.

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|=\sqrt{(–2)²+4²+5²}$$

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|=\sqrt{45}$$

Die Hessesche Normalform lautet:

$$\frac{1}{\sqrt{45}}\left(\begin{array}{c}–2\\ 4\\ 5\end{array}\right)·[ \overrightarrow{x}–\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)]=0$$

Beispiel 3:

$$x+2y=1$$

Den Normalenvektor ablesen. $$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$$

Den Schnittpunkt mit der x-Achse (x,0,0) bestimmen.

$$x+0=1$$

$$x=1$$

Die Normalform lautet:

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)·[ \overrightarrow{x}–\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)]=0$$

Den Betrag des Normalenvektors berechnen.

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|=\sqrt{1²+2²+0²}$$

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|=\sqrt{5}$$

Die Hessesche Normalform lautet:

$$\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)·[ \overrightarrow{x}–\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)]=0$$

Viel Spaß damit! :)

Information: Dieser Beitrag verwendet für die Darstellung von mathematischen Gleichungen einen offiziellen W3C Standard „MathML“. Leider unterstützen auch heute noch einige Browser diesen über 10 Jahre alten Standard nicht. Ob Ihr Browser MathML beherrscht können Sie hier testen.