Physikübung 23: Isotopieverschiebung zwischen Wasserstoff und Deuterium

Aufgabe:

Das Deuterium ist ein Wasserstoff-Atom mit einem zusätzlichen Neutron im Kern. Ausgehend von diesem Unterschied, berechnen Sie die Differenz in der Wellenlänge der Lyman-Alpha-Serie zwischen diesen beiden Isotopen.

Lösung:

Die Energie eines Niveaus im Bohrschen Atommodell ist gegeben durch:

$$E_n=–\frac{{\mathrm{e}}^4}{8{{\mathrm{\epsilon }}_0}^2{\mathrm{h}}^2}\mu \frac{Z^2}{n^2}$$

Der erste Bruch wird nur durch Naturkonstanten festgelegt. Z ist die Anzahl der positiven Ladungen, also der Protonen im Kern (hier Z=1). n ist die Nummer des Energieniveaus. µ ist die reduzierte Masse, die wie folgt berechnet wird:

$$\mu =\frac{{\mathrm{m}}_{\mathrm{e}}·m_{\mathrm{Kern}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{e}}+m_{\mathrm{Kern}}}$$

Die Lyman-Alpha-Linie entsteht beim Niveauübergang von n=2 nach n=1.

$$E_{2\to 1}=\frac{{\mathrm{e}}^4}{8{{\mathrm{\epsilon }}_0}^2{\mathrm{h}}^2}\left(\frac{1}{1^2}–\frac{1}{2^2}\right)\mu$$

Um die Übergangsenergie für beide Isotope auszurechnen, muss man in die Formel nur noch die entsprechende reduzierte Masse einsetzen.

µ_H = 9.10442·10^-31 kg
µ_D = 9.10690·10^-31 kg

Damit ergeben sich folgende Ergebnisse.

$${\mathrm{E}}_{\mathrm{H},2\to 1}=1.63401·{10}^{–18} \mathrm{J}$$
$${\mathrm{E}}_{\mathrm{D},2\to 1}=1.63446·{10}^{–18} \mathrm{J}$$

In Elektronenvolt:

$${\mathrm{E}}_{\mathrm{H},2\to 1}=10.1987 \mathrm{eV}$$

$${\mathrm{E}}_{\mathrm{D},2\to 1}=10.2015 \mathrm{eV}$$

Die beiden Energiewerte kann man in die Wellenlänge des emittierten Photons umrechnen.

$$\lambda =\frac{\mathrm{hc}}{E}$$

$${\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{H},2\to 1}=1.21569·{10}^{–7} \mathrm{m}$$

$${\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{D},2\to 1}=1.21535·{10}^{–7} \mathrm{m}$$

Die Isotopieverschiebung entspricht der Differenz der beiden Wellenlängen.

$$∆\lambda ={\lambda }_{\mathrm{H},2\to 1} – {\lambda }_{\mathrm{D},2\to 1}$$

$$∆\mathrm{\lambda }=3.4·{10}^{–11} \mathrm{m}$$

Viel Spaß damit! =)