Physikübung 15: Unendliche Kette von Kondensatoren

Aufgabe:
Es ist eine unendlich lange Kette von gleich großen Kondensatoren, die abwechselnd parallel und in Reihe geschaltet werden, gegeben (siehe Abbildung).

Bestimmen Sie die Gesamtkapazität dieser Schaltung.

Lösung:

Man erkennt, dass die ganze Kette nur eine Wiederholung von einer Schaltung aus zwei Kondensatoren ist (links von der Trennlinie in der Abbildung).

Man teilt die Kette in die erste Zelle und den Rest, der hier als C_∞-1 bezeichnet wird, auf. Somit reduziert sich die zunächst unendliche Kette auf eine Schaltung aus drei Kondensatoren.

Der Trick bei dieser Aufgabe ist zu erkennen, dass C_∞ und C_∞-1 gleich groß sind. Man hat unendlich viele Kondensator-Glieder und wenn da einer abgezogen wird, so bleiben immer noch unendlich viele Glieder übrig.

Wir berechnen die Gesamtkapazität der Schaltung aus der letzten Abbildung.

$$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\infty }}=\frac{1}{\mathrm{C}}+\frac{1}{\mathrm{C}+{\mathrm{C}}_{\infty –1}}$$

Wir setzen C_∞-1 = C_∞.

$$\frac{1}{{\mathrm{C}}_{\infty }}=\frac{1}{\mathrm{C}}+\frac{1}{\mathrm{C}+{\mathrm{C}}_{\infty }}$$

Eine Multiplikation mit C_∞,C und (C+C_∞) eliminiert die Brüche, so dass nach einer Umstellung eine quadratische Gleichung stehen bleibt.

$${\mathrm{C}}_{\infty }^2+{\mathrm{CC}}_{\infty }–{\mathrm{C}}^2=0$$

Diese Gleichung kann man mit der Quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel lösen. Als Resultat bekommt man zwei Ergebnisse, wobei nur das positive physikalisch einen Sinn macht (es gibt keine negativen Kapazitäten).

$${\mathrm{C}}_{\infty }=\frac{\mathrm{C}}{2}\left(\sqrt{5}–1\right)$$

Viel Spaß damit! :)

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