Physikübung 17: Magnetfeld eines unendlichen Leiters

Aufgabe:
Berechnen Sie das magnetische Feld in Entfernung s von einem sehr langen geraden Draht, durch den ein konstanter Strom I fließt. Nehmen Sie als Idealisierung an, dass der Draht unendlich lang ist.

Lösung:

Ein möglicher Lösungsweg für diese Aufgabe wurde bereits in der Physikübung 16 vorgestellt. Jetzt versuchen wir die Aufgabe mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes zu lösen.

Das Biot-Savart-Gesetz lautet wie folgt.

$$\overrightarrow{\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)}=\frac{{\mathrm{\mu }}_0}{4\mathrm{\pi }}\int \frac{\overrightarrow{\mathrm{I}}\times \left(\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right)}{{\left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|}^3}\mathrm{dl}$$

[rawhtml]
Dabei ist $\overrightarrow{\mathrm{I}}$ der Stromfluss und dl ein infinitesimales Integrationselement entlang des Stromleiters.[/rawhtml]

Man könnte versuchen eine Wegintegration von -∞ bis +∞ durchzuführen, dies ist aber relativ schwierig. Leichter ist es die Wegintegration in eine Integration über den Winkel θ von -π/2 bis +π/2 umzuschreiben. Dazu ersetzen wir alle von dem dl-Element abhängigen Terme durch durch Terme mit θ-Abhängigkeit. Bevor wir dies tun, schreiben wir zuerst das Kreuzprodukt um.

Weil uns nur der Betrag des Magnetfeldes interessiert, ersetzen wir das Kreuzprodukt durch dessen Betrag.

$$\overrightarrow{\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)}=\frac{{\mathrm{\mu }}_0 \mathrm{I}}{4\mathrm{\pi }}\int \frac{\overrightarrow{{\mathrm{e}}_{\mathrm{I}}}\times \overrightarrow{{\mathrm{e}}_{(\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚})}} \left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|}{{\left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|}^3}\mathrm{dl}$$

$$\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{{\mathrm{\mu }}_0}{4\mathrm{\pi }}\int \frac{\mathrm{I}·\left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|·\sin \left(\mathrm{\phi }\right)}{{\left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|}^3}\mathrm{dl}$$

Nach der trigonometrischen Beziehung cos(x) = sin(π/2 ± x) kann sin(φ)=cos(π/2+θ) als cos(θ) geschrieben werden.

$$\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I}}{4\mathrm{\pi }}\int \frac{\cos \left(\mathrm{\theta }\right)}{{\left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|}^2}\mathrm{dl}$$

Betrachtet man in der Abbildung eingezeichnete Dreieck, so kann man zwei Beziehungen ablesen. Die erste ist lautet:

$$\mathrm{l}=\tan \left(\mathrm{\theta }\right) \mathrm{s}$$

Um l in Abhängigkeit von θ zu bestimmen, berechnen wir die Ableitung von l nach θ.

$$\frac{\mathrm{dl}}{\mathrm{d\theta }}=\frac{\mathrm{s}}{{\cos }^2\left(\mathrm{\theta }\right)}$$

$$\mathrm{dl}=\frac{\mathrm{s}}{{\cos }^2\left(\mathrm{\theta }\right)}\mathrm{d\theta }$$

Die zweite Beziehung, die wir aus dem Dreieck ablesen ist:

$$\mathrm{s}=\cos \left(\mathrm{\theta }\right)\left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|$$

$$\frac{1}{{\left|\overrightarrow{\mathrm{r}}–\overrightarrow{\mathrm{r}‚}\right|}^2}=\frac{{\cos }^2\left(\mathrm{\theta }\right)}{{\mathrm{s}}^2}$$

Setzen wir diese beide Beziehungen in das Integral, so vereinfacht sich der Ausdruck bis auf das Kosinus.

$$\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I}}{4\mathrm{\pi s}}{\int }_{–\mathrm{\pi }/2}^{\mathrm{\pi }/2}\cos \left(\mathrm{\theta }\right)·\frac{{\cos }^2\left(\mathrm{\theta }\right)}{{\mathrm{s}}^2}·\frac{\mathrm{s}}{{\cos }^2\left(\mathrm{\theta }\right)}\mathrm{d\theta }$$

$$\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I}}{4\mathrm{\pi s}}{\int }_{–\mathrm{\pi }/2}^{\mathrm{\pi }/2}\cos \left(\mathrm{\theta }\right) \mathrm{d\theta }$$

$$\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I}}{4\mathrm{\pi s}}[\sin \left(\mathrm{\pi }/2\right)–\sin \left(–\mathrm{\pi }/2\right)]$$

$$\mathrm{B}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{I}}{2\mathrm{\pi s}}$$

Damit haben wir das gleiche Ergebnis, wie in der Physikübung 16 berechnet.

Viel Spaß damit. :)