Aufgabe:
Berechnen Sie das magnetische Feld in Entfernung s von einem sehr langen geraden Draht, durch den ein konstanter Strom I fließt. Nehmen Sie als Idealisierung an, dass der Draht unendlich lang ist.
Lösung:
Ein möglicher Lösungsweg für diese Aufgabe wurde bereits in der Physikübung 16 vorgestellt. Jetzt versuchen wir die Aufgabe mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes zu lösen.
Das Biot-Savart-Gesetz lautet wie folgt.
[rawhtml]
Dabei ist der Stromfluss und dl ein infinitesimales Integrationselement entlang des Stromleiters.[/rawhtml]
Man könnte versuchen eine Wegintegration von -∞ bis +∞ durchzuführen, dies ist aber relativ schwierig. Leichter ist es die Wegintegration in eine Integration über den Winkel θ von -π/2 bis +π/2 umzuschreiben. Dazu ersetzen wir alle von dem dl-Element abhängigen Terme durch durch Terme mit θ-Abhängigkeit. Bevor wir dies tun, schreiben wir zuerst das Kreuzprodukt um.
Weil uns nur der Betrag des Magnetfeldes interessiert, ersetzen wir das Kreuzprodukt durch dessen Betrag.
Nach der trigonometrischen Beziehung cos(x) = sin(π/2 ± x) kann sin(φ)=cos(π/2+θ) als cos(θ) geschrieben werden.
Betrachtet man in der Abbildung eingezeichnete Dreieck, so kann man zwei Beziehungen ablesen. Die erste ist lautet:
Um l in Abhängigkeit von θ zu bestimmen, berechnen wir die Ableitung von l nach θ.
Die zweite Beziehung, die wir aus dem Dreieck ablesen ist:
Setzen wir diese beide Beziehungen in das Integral, so vereinfacht sich der Ausdruck bis auf das Kosinus.
Damit haben wir das gleiche Ergebnis, wie in der Physikübung 16 berechnet.
Viel Spaß damit. :)