Physikübung 20: Wie tief ist der Brunnen?

Aufgabe:

Bob wirft ein Stein in einen Brunnen und hört nach 4 Sekunden den Aufprall. Wie tief ist der Brunnen?
Hinweis: Schallgeschwindigkeit beträgt 340 m/s. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.

Lösung:

Der Stein fällt gleichmäßig beschleunigt nach unten bis er auf den Boden des Brunnens auftritt. Durch den Aufprall entstehende Druckwelle bewegt sich nach oben wird schließlich vom Bob gehört.

Es müssen also zwei Zeiten betrachtet werden:
t_s := die Zeit, die der Stein bis zum Boden braucht.
t := die Zeit, die die Schallwelle zum Bob braucht.

Bob misst die Gesamtzeit t_ges=t+t_s.

Für den Stein gelten die Gleichungen für gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

$$s=\frac{1}{2}g{t}_s^2$$

Für t_s setzen wir t_ges-t ein.

$$s=\frac{1}{2}g(t_{\mathrm{ges}}–t{)}^2$$

Der Schall breitet sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v=340 m/s aus.

$$s=vt$$

Wir können diese Gleichung nach t umstellen und in die vorherige einsetzen.

$$s=\frac{1}{2}g(t_{\mathrm{ges}}–\frac{s}{v}{)}^2$$

Somit haben wir eine quadratische Gleichung für s, die nur noch gelöst werden muss.
Man multipliziert die Gleichung mit 2/g, schreibt die Binomische Gleichung aus und bringt alle Terme auf eine Seite.

$$s^2+\left(–2v{t}_{\mathrm{ges}}–\frac{2v^2}{g}\right)s+v^2{t}_{\mathrm{ges}}^2=0$$

Jetzt können wir die PQ-Formel anwenden.

$$s_{1/2}=–\frac{1}{2}\left(–2v{t}_{\mathrm{ges}}–\frac{2v^2}{g}\right)\pm \sqrt{\frac{1}{4}{\left(–2v{t}_{\mathrm{ges}}–\frac{2v^2}{g}\right)}^2–v^2{t}_{\mathrm{ges}}^2}$$

$$s_{1/2}=v{t}_{\mathrm{ges}}+\frac{v^2}{g}\pm \sqrt{\frac{2v^3{t}_{\mathrm{ges}}}{g}+\frac{v^4}{g^2}}$$

Es gibt zwei Ergebnisse, was physikalisch unsinnig ist. Man muss entscheiden ob das Ergebnis mit dem + oder – vor der Wurzel nimmt.
Wenn man v ausklammert, erkennt man die Bewegungsgleichung für den Schall (s=vt). Damit muss der Term in der Klammer der Zeit t entsprechen.

$$s_{1/2}=v\left(t_{\mathrm{ges}}+\frac{v}{g}\pm \sqrt{\frac{2v{t}_{\mathrm{ges}}}{g}+\frac{v^2}{g^2}}\right)$$

$$s_{1/2}=v\underset{t}{\underbrace{\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{ges}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{g}}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{2\mathrm{v}{\mathrm{t}}_{\mathrm{ges}}}{\mathrm{g}}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{v}}^2}{{\mathrm{g}}^2}}}\right)}}$$

Wenn man t ausrechnet, so bekommt man nur einen Wert, der kleiner als die Gesamtzeit ist. Dies ist dann der Fall, wenn man das Minuszeichen von der Wurzel wählt.
Damit lautet das Ergebnis wie folgt.

$$s=v\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{ges}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{g}}}–\sqrt{{\displaystyle \frac{2\mathrm{v}{\mathrm{t}}_{\mathrm{ges}}}{\mathrm{g}}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{v}}^2}{{\mathrm{g}}^2}}}\right)$$

Setzt man die gegeben Größen ein, so kommt auf eine Tiefe von 70,55 m. Ganz schön tief…

Viel Spaß damit! =)