Physikübung 12: Kugelsymmetrische Ladungsverteilung

Aufgabe:
Die Ladungsdichte im Inneren einer Kugel mit dem Radius R_K ist gegeben durch ρ(r) = a·r + b, wobei a und b Konstanten sind und r von Null bis R_K variiert.
Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes die elektrische Feldstärke E(R) im Inneren der Kugel.

Lösung:

Der Gaußsche Satz lautet allgemein:

[math]
\int\limits_{F}^{} \vec{E}\ d \vec{A} = \frac{q_{ein}}{\epsilon_{0}} [/math]

und bedeutet, dass der elektrische Fluss durch die Oberfläche eines Volumens gleich der in dem Volumen eingeschlossener Ladung geteilt durch ε₀ entspricht.

Im unseren Fall haben wir als Volumen eine Kugel gegeben. Somit steht das elektrische Feld immer senkrecht auf der Oberfläche (cos(0°) = 1) und das Skalarprodukt im Integral nimmt eine einfache Form an.

[math]\int\limits_{F}^{} \vec{E}\ d \vec{A} = \int\limits_{F}^{} E(r)\ dA[/math]

Da das elektrische Feld nur von dem Radius R abhängt, können wir es vor das Flächenintegral ziehen. Mit dem ausgeschriebenen Flächenelement dA = r² sin(θ) dθ dφ können wir das Flächenintegral berechnen.

[math]E(R) \int\limits_{F}^{} dA = \int\limits_{\theta=0}^{\pi} \int\limits_{\phi=0}^{2\pi} r^2\ sin(\theta) \ d\theta d\phi = E(R)\ 4\pi R^2[/math]

Somit haben wir die linke Seite des Gaußschen Satzes ausgerechnet (Was auch genau dem elektrischen Feld einer Punktladung entspricht).

[math]E(R)\ 4\pi R^2 = \frac{q_{ein}}{\epsilon_{0}}[/math]
[math]E(R) = \frac{q_{ein}}{4\pi R^2\ \epsilon_{0}}[/math]

Jetzt müssen wir noch die in der Kugel mit dem Radius R eingeschlossene Ladung q_ein bestimmen. Die Ladungsdichte ist gegeben und um die Ladung q_ein(R) zu bestimmen müssen wir über das eingeschlossene Kugelvolumen integrieren.

[math]q_{ein}(R) = \int\limits_{V}^{} \rho(r) dV = \int\limits_{\theta=0}^{\pi} \int\limits_{\phi=0}^{2\pi} \int\limits_{r=0}^{R} \rho(r)\ r^2\ sin(\theta)\ d\theta d\phi dr = 4\pi \int\limits_{r=0}^{R} \rho(r) r^2\ dr[/math]

Jetzt setzen wir die Ladungsverteilung ρ(r) = a·r + b in das Integral ein und integrieren.

[math]q_{ein}(R) = 4\pi \int\limits_{r=0}^{R} (a\ r + b) r^2\ dr = 4\pi \int\limits_{r=0}^{R} ar^3 + br^2\ dr = 4\pi [\frac{1}{4}aR^4 + \frac{1}{3}bR^3][/math]

Jetzt können wir die eingeschlossene Ladung in die obere Formel für E(R) einsetzen.

[math]E(R) = \frac{q_{ein}}{4\pi R^2\ \epsilon_{0}} = \frac{4\pi [\frac{1}{4}aR^4 + \frac{1}{3}bR^3]}{4\pi R^2\ \epsilon_{0}} = \frac{1}{\epsilon_{0}}[\frac{1}{4}aR^2 + \frac{1}{3}bR][/math]

Damit lautet das Ergebnis

[math]E(R) = \frac{1}{\epsilon_{0}}[\frac{1}{4}aR^2 + \frac{1}{3}bR][/math]

für 0 ≤ R ≤ R_K.

Viel Spaß damit! =)