Physikübung 8: Freie Achse, Trägheitsmoment

Aufgabe:
Vier Massenpunkte gleicher Masse m sind starr miteinander verbunden. Sie befinden sich an den Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge d. Die Massen der Verbindungsteile sind des Weiteren zu vernachlässigen.

a) Zeigen Sie, dass jede Drehachse, welche sich in der Ebene des Quadrates befindet und durch seinen Mittelpunkt verläuft, eine freie Achse ist.

b) Zeigen Sie, dass bezüglich einer solchen freien Achse das Trägheitsmoment der vier Massenpunkte unabhängig von der Wahl der Achse ist und bestimmen Sie seinen Ausdruck.

Lösung:

a)
Eine Rotationsachse ist eine Freie Achse, wenn die zu ihr senkrechte Komponente des Drehimpulses aller Massenpunkte Null ist. Das heißt, der Drehimpuls muss unabhängig von dem Punkt auf der Achse sein, von dem er betrachtet wird.
Wir verwenden die allgemeine Definition des Drehimpulses und formen die Gleichung so um, dass wir einen senkrechten und einen parallelen Anteil bekommen. Der parallele Anteil muss dann Null ergeben.

Im Folgenden Fett-geschriebene Buchstaben symbolisieren Vektoren.
Das Summenzeichen entspricht der Summe von i=1 bis i=4, wobei i einen Massenpunkt symbolisiert.

Wir betrachten den Drehimpuls von einem beliebigen Punkt O aus.

L = ∑ r_i×(mv_i)

Die Masse entspricht einer Konstante, also können wir sie aus der Summe raus ziehen. Die Tangentialgeschwindigkeit v_i wird durch den Ortsvektor (bezüglich Punktes O) r_i und die Winkelgeschwindigkeit ω ersetzt.

L = m ∑ r_i×(ω×r_i)

Jetzt drücken wir den Ortsvektor r_i in dem Schwerpunktbezugssystem aus. Einfachheit halber wird zuerst nur ein Vektor ersetzt.

L = m ∑ r_i×[ω×(R_OS+R_i)]

L = m ∑ r_i×[ω×R_OS+ω×R_i]

ω×R_OS ist Null, weil die beiden Vektoren parallel sind.

L = m ∑ r_i×(ω×R_i)

Jetzt ersetzen wir das andere r_i durch R_OS+R_i.

L = m ∑ (R_OS+R_i)×(ω×R_i)

Wir multiplizieren aus.

L = m ∑ [R_OS×(ω×R_i)+R_i×(ω×R_i)]

Die Summe wird aufgespalten.

L = m ∑ R_OS×(ω×R_i)+ m ∑ R_i×(ω×R_i)

Da ω und R_OS für alle Massenpunkte gleich ist können wir den ersten Term umschreiben. Dabei ziehen wir die Masse wieder in die Summe rein.

L = R_OS×(ω×∑ mR_i)+ m ∑ R_i×(ω×R_i)

Der Ausdruck ∑ mR_i im ersten Term entspricht dem Schwerpunkt und ist somit Null. Dadurch fällt der erste Term komplett weg.

L = m ∑ R_i×(ω×R_i)

Man sieht, dass der Drehimpuls von einem beliebigen Punkt aus betrachtet, dem Drehimpuls vom Schwerpunk aus entspricht. Wir haben bis jetzt also nur r_i durch R_i ersetzt.

Jetzt spalten wir den Vektor R_i in einen zur der Drehachse parallelen R_i|| und senkrechten Anteil R_i⊥ auf.

R_i = R_i|| + R_i⊥

Wir gehen dabei wieder Schrittweise vor und ersetzen zuerst nur einen Vektor R_i.

L = m ∑ R_i×[ω×(R_i|| + R_i⊥)]

L = m ∑ R_i×(ω×R_i|| + ω×R_i⊥)

ω×R_i|| ist Null, weil die Vektoren parallel sind.
Wir ersetzen das zweite R_i.

L = m ∑ (R_i|| + R_i⊥)×(ω×R_i⊥)

Es wird ausgeklammert und die Summe aufgespalten (analoger Schritt wurde bereits oben durchgeführt).

L = m ∑ R_i||×(ω×R_i⊥) + m ∑ R_i⊥×(ω×R_i⊥)

Dies entspricht genau dem parallelen und senkrechten Anteil des Drehimpulses.

L_⊥ + L_i|| = m ∑ R_i||×(ω×R_i⊥) + m ∑ R_i⊥×(ω×R_i⊥)

Wir interessieren uns für den senkrechten Anteil.

L_⊥ = m ∑ R_i||×(ω×R_i⊥)

Wir schreiben die Kreuzprodukte in Skalarprodukte um. Rechenregel: a×(b×c) = (a·c)·b – (a·b)·c

L_⊥ = m ∑ [(R_i||·R_i⊥)·ω – (R_i||·ω)·R_i⊥]

Da R_i|| und R_i⊥ senkrecht zu einander stehen, ist das Skalarprodukt R_i||·R_i⊥=0 und somit auch der erste Term.

L_⊥ = m ∑ [- (R_i||·ω)·R_i⊥]

R_i||·ω = R_i||·ω·1

L_⊥ = m ∑ [- R_i||·ω·R_i⊥]

Wir ziehen die Beträge aus der Summe raus.

L_⊥ = -R_i||·ω·m ∑ R_i⊥

Es wird also nur über die senkrechten Abstände der Massenpunkte summiert. Aufgrund der Symmetrie bekommt man da Null raus. Somit wird der senkrechte Anteil des Drehimpulses Null.

L_⊥ = -R_i||·ω·m ∑ R_i⊥ = 0

Daraus folgt, dass jede Drehachse, die durch den Schwerpunkt geht und in der Ebene liegt eine Freie Achse ist.

b)

Um das Trägheitsmoment θ zu berechnen, verwenden wir die Beziehung L = θ·ω. In unserem Fall gilt L = L_||.

L_|| = m ∑ R_i⊥×(ω×R_i⊥)

Wir schreiben in Skalarprodukte um.

L_|| = m ∑ [ (R_i⊥·R_i⊥)·ω – (R_i⊥·ω)·R_i⊥]

Der zweite Term verschwindet wegen R_i⊥·ω=0.

L_|| = m ∑ (R_i⊥)²·ω

L_|| = m ω ∑ (R_i⊥)²

R_i⊥ entspricht für alle Massenpunkte der halben Seitenlänge des Quadrat.

(R_i⊥)² = ¼d²

Wir schreiben die Summe aus.

L_|| = mω[¼d² + ¼d² + ¼d² + ¼d²]

L_|| = mωd²

Und damit ist θ = md²

Die Unabhängigkeit des Trägheitsmomentes von der Achsenwahl wurde so nebenbei bereits in a) gezeigt.

Viel Spaß damit ^^