Physikübung 9: Hohlkugel im Wasser

Aufgabe:
Eine Hohlkugel aus Aluminium (ρ_Al=2700kg/m³) mit einer Wandstärke von 1mm schwimmt im Wasser, wobei 60% ihres Volumens sich unter der Wasseroberfläche befindet.
Welchen Radius hat die Aluminiumkugel?

Lösung:
Nach dem archimedischen Prinzip ist der Betrag der Gewichtskraft des von der Kugel verdrängten Wasservolumens gleich dem Betrag der Gewichtskraft der Kugel.

Die Gewichtskraft der Kugel entspricht der Masse der Aluminiumschale multipliziert mit der Gravitationsbeschleunigung g=9,81 m/s².
Die Masse der Kugelschale:

m_k = ρ_Al * 4/3 * π * (R³-r³)

Damit lautet die Gleichung für die Gewichtskraft:

F_k = ρ_Al * 4/3 * π * (R³-r³) * g

Diese Kraft muss gleich der Gewichtskraft des Wasservolumens sein, dass von der Kugel verdrängt wurde. Somit lautet die Gleichung für die Gewichtskraft des Wassers:

F_w = 3/5 * ρ_w * 4/3 * π * R³ * g

Hier wurde schon berücksichtigt, dass nur 60%, also 3/5 des Volumens der Kugel im Wasser sind.

Da die Kugel schwimmt, müssen beide Kräfte gleich sein, also F_k = F_w.

ρ_Al * 4/3 * π * (R³-r³) * g = 3/5 * ρ_w * 4/3 * π * R³ * g

Teilt man durch 4/3, π und g bekommt folgende Gleichung.

ρ_Al * (R³-r³) = 3/5 * ρ_w * R³

Man teilt durch R³ und ρ_Al.

1-r³/R³ = 3/5 * (ρ_w / ρ_Al )

Jetzt stellt man nach r/R um.

r/R = ( 1 – 3/5 * (ρ_w / ρ_Al))^1/3

Wir geben diesem Term aus Übersichtsgründen eine neue Bezeichnung d.
Also

r / R = d = ( 1 – 3/5 * (ρ_w / ρ_Al))^1/3

Laut der Aufgabenstellung ist bekannt, dass r einen Millimeter kleiner als R ist, also r = R-1mm.
Man setzt r in die obere Gleichung ein.

(R – 1mm)/R = d

Jetzt kann nach R umstellen.

R-1mm = d * R
-1mm = d * R – R
1mm = R(1-d)
R = 1mm / (1-d)

Setzt man jetzt noch den oberen Wert d in die Gleichung ein, so bekommt man einen analytischen Ausdruck für den Radius der Kugel.

R = 1mm / (1-( 1 – 3/5 * (ρ_w / ρ_Al))^1/3)

Da die Dichte von Aluminium und Wasser bekannt sind, kann man leicht den Radius der Aluminiumkugel berechnen.
R = 12,44mm